Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，給出下面關于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數；  
②f（x）在[0，1]上是增函數；
③f（x）在[1，2]上是減函數；
④f（x）關于直線x=1對稱．
其中正確判斷的序號為

①④

（寫出所有正確判斷的序號）．

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判斷①；
由f（x）為偶函數且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上的單調性，可判斷②；
再根據周期函數的性質，且在[-1，0]上是增函數，推出y=f（x）的圖象關于x=1對稱，故f（x）在[1，2]上為增函數，可判斷③④．

解答：解：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），即可得周期T=2，故①正確；
由f（x）為偶函數且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數，故②錯；
由于f（x）在[0，1]上是減函數，
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的圖象關于x=1對稱，故f（x）在[1，2]上為增函數，f（2）=f（0），故③錯，④正確．
故答案為：①④

點評：本題考查函數的周期性，函數的單調性及單調區間，函數奇偶性的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，是基礎題．