Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，點F為PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證PA∥平面BFD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面BFD內一直線平行，連接AC，BD與AC交于點O，連接OF，根據中位線可知OF∥PA，OF?平面BFD，PA?平面BFD，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）根據條件可知PA⊥AC，AC⊥BD．OF∩BD=O，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面BDF，作OH⊥BF，垂足為H，連接CH，則CH⊥BF，
所以∠OHC為二面角PD⊥的平面角．在Rt△FOB中，求出OH，從而求出∠OHC的正切值，最后根據二面角C-BF-D的平面角與二面角P-BF-D的平面角互補求出所求即可．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，BD與AC交于點O，連接OF．
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中點．
∵點F為PC的中點，∴OF∥PA．
∵OF?平面BFD，PA?平面BFD，∴PA∥平面BFD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，∴OF⊥AC．∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足為H，連接CH，則CH⊥BF，
所以∠OHC為二面角PD⊥的平面角．ABCDPA=AD=AC，
∴OF=

1

2

PA，BO=

3

2

PA，BF=

BO2+OF2

=PA．
在Rt△FOB中，OH=

OF?BO

BF

=

3

4

PA，
∴tan∠OHC=

OC

OH

=

1 2 PA

3 4 PA

=

2 3

3

．
∴二面角C-BF-D的大小為arctan

2 3

3

∵二面角C-BF-D的平面角與二面角P-BF-D的平面角互補
∴二面角P-BF-D的大小為π-arctan

2 3

3

點評：求二面角，關鍵是構造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉化為二面角的平面角，屬于綜合題．