Question

如圖三棱錐A-BCD中，截面四邊形EFGH是梯形，其中EF∥GH，點E，F，G，H分別在AB、BC、CD、DA上；
（1）求證：EH、FG、BD三條直線交于同一點；
（2）求證：AC∥平面EFGH．

Answer 1

分析：（1）先證P為兩個平面的公共點，利用兩個平面的公共點在兩個平面的公共直線上，證線共點；
（2）由EF∥GH，得EF∥平面ACD，得AC∥EF，再得線面平行．

解答：證明：（1）∵點E，F，G，H分別在AB、BC、CD、DA上，∴EH?平面ABD，FG?平面BCD，
∵EH∩FG=P，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD，
即EH、FG、BD三條直線交于點P；
（2）∵EF∥GH，GH?平面ACD，EF?平面ACD，∴EF∥平面ACD，EF?平面ABC，
平面ABC∩平面ACD=AC，∴AC∥EF，又EF?平面EFGH，AC?平面EFGH，
∴AC∥平面EFGH．

點評：本題考查了用公理2證明點共線問題，考查平行關系的轉化，考查了學生的空間想象能力和推理論證能力，本題較好的體現了線線、線面平行關系的轉化．