Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別為棱AB、BC、DD₁的中點．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）證明：PB⊥平面B₁MN；
（3）畫出該正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形連成一個長方形”的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我們要先找出二面角的平面角，再構造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）要證明PB⊥平面B₁MN，我們要在平面內找到兩條與PB垂直的相交直線，分析題意可知B₁M，B₁N滿足要求，進而可以轉化為證明線線垂直．
（3）由正方體12種展開圖，選其中“1-4-1”的情況，再標識出P點即可．
解答：解：（1）連接BD交MN于F，則BF⊥MN，連接B₁F．∵B₁B⊥平面ABCD，
∴B₁B⊥MN．
又∵BD⊥MN
∴MN⊥平面B₁BF
∴MN⊥B₁F
∴∠B₁FB為二面角B₁-MN-B的平面角．
在Rt△B₁BF中，B₁B=1，BF=
∴tan∠B₁FB=2
（2）過點P作PE⊥AA₁于E，
則PE⊥平面ABB₁A₁，
連接BE．由平面幾何知識知，B₁M⊥BE．
∴PB⊥B₁M
同理，PB⊥B₁N
又∵B₁M∩B₁N=B₁
∴PB⊥平面B₁MN．
（3）符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種情況之一．

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐系⇒明確相關點的坐標⇒明確相關向量的坐標⇒通過空間向量的坐標運算求解．