Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）=-7a有兩個相等的實數根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數g（x）=xf（x）在區間內單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3），可設函數f（x）-2x的解析式為（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）=-7a有兩個相等的實數根，通過△求出a的值最后代入f（x）即可．
（2）根據若函數g（x）區間內單調遞減，通過導函數g′（x）＜0，求a的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集為（-1，3），
∴可設f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
由f（x）+7a=0得ax²+2（1-a）x+4a=0②
∵方程②有兩個相等的根，
∴△=4（1-a）²-16a²=0，
即3a²+2a-1=0解得a=-1或
由于a＜0，（舍去），將a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x²+4x+3．
（2）g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在區間內單調遞減，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在上的函數值非正，
由于a＜0，對稱軸，
故g（x）≤
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范圍是（-∞，-1]．
點評：本題主要考查了用待定系數法求函數的解析式．步驟一般是首先確定所求問題含待定系數的解析式．其次根據恒等條件，列出一組含待定系數的方程．最后解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決．