Question

設函數的極值點．
（I）若函數f（x）在x=2的切線平行于3x-4y+4=0，求函數f（x）的解析式；
（II）若f（x）=0恰有兩解，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導函數，利用x=1是函數f（x）的極值點，函數f（x）在x=2的切線平行于3x-4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）=，從而可求函數f（x）的解析式；
（II）（x＞0），分類討論：①若c＜0，則f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0；②若0＜c＜1，則f_極大（x）=clnc，f_極小（x）=；③若c≥1，則f_極小（x）=clnc，f_極大（x）=，由此可確定實數c的取值范圍．
解答：解：（I）求導函數，可得
∵x=1是函數f（x）的極值點，函數f（x）在x=2的切線平行于3x-4y+4=0，
∴f′（1）=0，f′（2）=
∴
∴b=-，c=
∴函數f（x）的解析式為；
（II）（x＞0）
①若c＜0，則f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0，即
∴
②若0＜c＜1，則f_極大（x）=f（c）=clnc+，f_極小（x）=f（1）=
∵b=-1-c，∴f_極大（x）=clnc，f_極小（x）=
∴f（x）=0不可能有兩解
③若c≥1，則f_極小（x）=clnc，f_極大（x）=，∴f（x）=0只有一解
綜上可知，實數c的取值范圍為．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論思想，解題的關鍵是正確分類．