Question

設函數f(x)=clnx+

1

2

x2+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1為f(x)的極值點．
（I）若函數f（x）在x=2的切線平行于3x-4y+4=0，求函數f（x）的解析式；
（II）若f（x）=0恰有兩解，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用x=1是函數f（x）的極值點，函數f（x）在x=2的切線平行于3x-4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）=

3

4

，從而可求函數f（x）的解析式；
（II）f′(x)=

x2+bx+c

x

=

x2+(-c-1)x+c

x

=

(x-1)(x-c)

x

（x＞0），分類討論：①若c＜0，則f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0；②若0＜c＜1，則f_極大（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_極小（x）=-

1

2

-c＜0；③若c≥1，則f_極小（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_極大（x）=-

1

2

-c＜0，由此可確定實數c的取值范圍．

解答：解：（I）求導函數，可得f′(x)=

x2+bx+c

x

∵x=1是函數f（x）的極值點，函數f（x）在x=2的切線平行于3x-4y+4=0，
∴f′（1）=0，f′（2）=

3

4

∴

1+b+c=0 4+2b+c 2 = 3 4

∴b=-

3

2

，c=

1

2

∴函數f（x）的解析式為f(x)=

1

2

lnx+

1

2

x2-

3

2

x；
（II）f′(x)=

x2+bx+c

x

=

x2+(-c-1)x+c

x

=

(x-1)(x-c)

x

（x＞0）
①若c＜0，則f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0，即

1

2

+b＜0
∴-

1

2

＜c＜0
②若0＜c＜1，則f_極大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+bc，f_極小（x）=f（1）=

1

2

+b
∵b=-1-c，∴f_極大（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_極小（x）=-

1

2

-c＜0
∴f（x）=0不可能有兩解
③若c≥1，則f_極小（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_極大（x）=-

1

2

-c＜0，∴f（x）=0只有一解
綜上可知，實數c的取值范圍為-

1

2

＜c＜0．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論思想，解題的關鍵是正確分類．