Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過點且互相垂直的兩條直線分別與圓交于點A，B，與圓交于點C，D．

(1) 若AB＝，求CD的長；

(2)若直線斜率為2，求的面積；

(3) 若CD的中點為E，求△ABE面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) .

【解析】

（1）分析直線斜率是否存在，當斜率存在時，利用圓中半弦長，半徑，弦心距構成直角三角形求解即可（2）直線斜率為2，則直線方程為，求出弦長，點M到直線的距離,利用三角形面積公式求解即可（3）表示出△ABE的面積S＝AB·d＝2，令，換元后根據二次函數求最值即可.

(1) 由題可知，直線AB斜率顯然存在，設為k，則直線AB：y＝kx＋1.

因為O點到直線AB的距離d1＝，

∴+＝4，

∴AB＝2

由2＝得k2＝15.

因為直線AB與直線CD互相垂直，則直線CD：y＝x＋1，

∴M點到直線CD的距離d2＝，

∴＝1－，CD＝2＝2＝.

(2) 直線斜率為2，則直線方程為

到直線距離為到直線距離為

(3)當直線AB的斜率不存在時，△ABE的面積S＝×4×2＝4；

當直線AB的斜率存在時，設為k，則直線AB：y＝kx＋1，k≠0，直線CD：y＝－x＋1.

由<1得k2>3， 所以k∈(－∞，－)∪(，＋∞)．

因為＋＝4，所以AB＝2.

因為E點到直線AB的距離即M點到直線AB的距離d＝＝，

所以△ABE的面積S＝AB·d＝2.

令，則S＝

∈.

綜上，△ABE面積的取值范圍是.