Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率是 ，且過點 ．直線y= x+m與橢圓C相交于A，B兩點． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積的最大值；
（Ⅲ）設直線PA，PB分別與y軸交于點M，N．判斷|PM|，|PN|的大小關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓 =1（a＞b＞0）的半焦距為c，

由橢圓C的離心率是e= = = ，即a2=2b2，

將點 代入橢圓方程： ．解得 ，

∴橢圓C的方程為 ；．[（4分）]

（Ⅱ）由 ，消去y，整理得x2+ mx+m2﹣2=0．

令△=2m2﹣4（m2﹣2）＞0，解得﹣2＜m＜2．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣ m，x1x2=m2﹣2．

∴丨AB丨= = ，

點 ．到直線x﹣ y+ m=0的距離為d= = ．

∴△PAB的面積S= 丨AB丨d= 丨m丨 ，

= ≤ ，

當且僅當m=± 時，S= ．

則△PAB的面積的最大值 ；

（Ⅲ）丨PM丨=丨PN丨．證明如下：

設直線PA，PB的斜率分別是k1，k1，

則k1+k2= + = ，

由（Ⅱ）得（y1﹣1）（x2﹣ ）+（y2﹣1）（x1﹣ ），

=（ x1+m﹣1）（x2﹣ ）+（ x1+m﹣1）（x1﹣ ），

= x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣2 （m﹣1），

= （m2﹣2）+（m﹣2）（﹣ m）﹣2 （m﹣1）=0，

∴直線PA，PB的傾斜角互補．

∴∠1=∠2，

∴∠PMN=∠PNM．

∴丨PM丨=丨PN丨．

【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式，求得a2=2b2，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得m的取值范圍，利用韋達定理，弦長公式，根二次函數的性質，即可求得△PAB的面積的最大值；（Ⅲ）設直線PA，PB的斜率分別是k1，k1，根據韋達定理和直線的斜率公式求得k1+k2=0，則∠PMN=∠PNM，則丨PM丨=丨PN丨．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．