Question

某同學(xué)在研究函數(shù)y=f（x）（x≥1，x∈N）的性質(zhì)，他已經(jīng)正確地證明了函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f（3x）=3f（x），
并且當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）=[1-|x-2|]，這樣對(duì)任意x≥1，他都可以求f（x）的值了，比如f（3×

8

3

）=3f（

8

3

）=3[1-|

8

3

-2|]=1，f（54）=3³f（

54

33

）=27，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，求出集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

分析：由f（3x）=3f（x）將f（99）遞推下去求得18，再利用f（3x）=3f（x）遞推得到f（x）=3³f（

x

27

）=27[1-|

x

27

-2|]=18，然后分類(lèi)討論去絕對(duì)值求解．

解答：解：根據(jù)題意：f（99）=3f（33）=3²f（11）=3³f（

11

3

）=3⁴f（

11

9

）=81[1-|

11

9

-2|]=18
∴f（x）=3³f（

x

27

）=27[1-|

x

27

-2|]=18
當(dāng)1≤

x

27

＜2時(shí)，27×[

x

27

-1]=18解得：x=45
當(dāng)2≤

x

27

≤ 3時(shí)，27×[3-

x

27

]=18解得x=63
∴集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是 45
故答案為：45

點(diǎn)評(píng)：本題是一定義題，要嚴(yán)格按照題目要求轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題去解決，本題涉及到定義及絕對(duì)值方程的求法．