Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+2），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，如果1+x₁x₂＜x₁+x₂＜2，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能為0

D．可正可負(fù)

Answer 1

分析：由已知不妨可設(shè)x₁＜1，x₂＞1，則2-x₁＞x₂＞1利用x＞1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，且函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=-f（-x），可求

解答：解：由1+x₁x₂＜x₁+x₂＜2，
可得，x₁+x₂＜2，x₁x₂＜1，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
則x₁、x₂中必有1個(gè)小于0，另一個(gè)大于0，
不妨設(shè)x₁＜1，x₂＞1，則2-x₁＞x₂＞1
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（2-x₁）＜f（x₂）
∵函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=-f（-x），即f（2-x）=-f（x）
∴f（x₁）-f（x₂）
∴f（x₁）+f（x₂）的值恒大于0，
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．