Question

已知橢圓：過點，上、下焦點分別為、，

向量．直線與橢圓交于兩點，線段中點為．

（1）求橢圓的方程；

（2）求直線的方程；

（3）記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區域（含邊界）為，若曲線

與區域有公共點，試求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：[解]（1）

解得：，橢圓方程為

（2）①當斜率不存在時，由于點不是線段的中點，所以不符合要求；

②設直線方程為，代入橢圓方程整理得

 

解得

所以直線

（3）化簡曲線方程得：，是以為圓心，為半徑的圓。當圓與直線相切時，，此時為，圓心。

由于直線與橢圓交于，

故當圓過時，最小。此時，。

考點：橢圓的方程

點評：關于曲線的大題，第一問一般是求出曲線的方程，第二問常與直線結合起來，當涉及到交點時，常用到根與系數的關系式：（）。