Question

已知橢圓C過點(diǎn)M(1，

6

2

)，F(xiàn)(-

2

，0)是橢圓的左焦點(diǎn)，P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)A．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知列出關(guān)于a，b的方程組，解之即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）先設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），2|MF|=|PE|+|QF|，得出x₁+x₂=2，下面對(duì)x₁與x₂關(guān)系進(jìn)行分類討論：①當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，②當(dāng)x₁=x₂時(shí)，分別求得線段PQ的中垂線方程，看它是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)A．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知，
得

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，解得

a2=4 b2=2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
可知|PF|=

(x1+ 2 )2+ y 2 1

=

(x1+ 2 )2+2- x 2 1 2

=2+

2

2

x1
同理|OF|=2+

2

2

x2，|MF|=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PE|+|QF|，∴2(2+

2

2

)=4+

2

2

(x1+x2)，∴x₁+x₂=2，
①當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，由

x 1 2 +2 y 2 1 =4 x 2 2 +2 y 2 2 =4

，得x₁²-x₂²+2（y₁²-y₂²）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N（1，n），由kPQ

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得線段PQ的中垂線方程為y-n=2n（x-1）
∴（2x-1）n-y=0，該直線恒過一定點(diǎn)A（

1

2

，0），
②當(dāng)x₁=x₂時(shí)，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或P（1，

6

2

），Q（1，-

6

2

）
線段PQ的中垂線是x軸，也過點(diǎn)A（

1

2

，0），
∴線段PQ的中垂線過點(diǎn)A（

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等   突出考查了分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能．