Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，面積S=

3

2

abcosC．
（1）求角C的大小；
（2）設函數f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

，求f（B）的最大值，及取得最大值時角B的值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（1）利用三角形面積公式表示出S，代入已知等式，整理求出tanC的值，即可確定出C的度數；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由C的度數確定出B的范圍，進而確定出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出最大值，以及此時B的度數即可．

解答： 解：（1）由S=

1

2

absinC及題設條件得

1

2

absinC=

3

2

abcosC，
即sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，
∴C=

π

3

；
（2）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∵C=

π

3

，
∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
當B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，f（B）有最大值是

3

2

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形面積公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關鍵．