Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABF₂為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．（1，+∞）
• B．（1，

  3

  ）
• C．（1，1+

  2

  ）
• D．（1+

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點可知△ABC為等腰三角形，所以△ABF₂為鈍角三角形只要∠AF₂B為鈍角即可，由此可知

b2

a

＞2c，從而能夠推導出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：由題設條件可知△ABC為等腰三角形，只要∠AF₂B為鈍角即可，
所以有

b2

a

＞2c，即2ac＜c²-a²，解出e∈（1+

2

，+∞），
故選D．

點評：本題考查雙曲線的離心率和銳角三角形的判斷，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘．