Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）當a=

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時，求函數f（x）的極大值；
（Ⅱ）若對?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=

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代入函數解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導函數，確定函數的單調性，即可求函數f（x）的極大值；
（Ⅱ）求出f（x）的導函數，把求出的導函數代入到已知的不等式中，移項使不等式的右邊為0，左邊為一個二次函數，討論a，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=

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時，f（x）=

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x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=7x²+6x-1=（7x-1）（x+1），
令f′（x）=0，得x₁=

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，x₂=-1，
且當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，當x∈（-1，

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）時，f′（x）＜0，
所以當x=-1時，f（x）有極大值，且f（-1）=

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．
（Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即?x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
當a≥0時，?x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
當a＜0時，?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，解得a≤-

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3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查恒成立問題，正確求導數，合理分類是關鍵．