Question

已知對于自然數a，存在一個以a為首項系數的整系數二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．

Answer 1

分析：設出二次函數的零點式，抓住整系數多項式，各系數都是整數，結合f（0）≥1，f（1）≥1，利用不等式化簡變形即可．

解答：證明：設二次三項式為：f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），a∈N．
依題意知：0＜x₁＜1，0＜x₂＜1，且x₁≠x₂．于是有
f（0）＞0，f（1）＞0．
又f（x）=ax²-a（x₁+x₂）x+ax₁x₂為整系數二次三項式，
所以f（0）=ax₁x₂，f（1）=a•（1-x₁）（1-x₂）為正整數
故f（0）≥1，f（1）≥1．
從而f（0）•f（1）≥1．①
另一方面，
x₁（1-x₁）≤

1

4

，x₂（1-x₂）≤

1

4

且由x₁≠x₂知等號不同時成立，所以
x₁（1-x₁）x2(1-x2) ＜

1

16

a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）＜

1

16

a2
由①、②得，a²＞16．又a∈N，所以a≥5．

點評：本題考查二次函數的證明問題以及不等式的簡單應用，關鍵是靈活運用“整數系數”限制范圍，屬于中檔題．