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已知對于自然數(shù)a,存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式,它有兩個(gè)小于1的正根,求證:a≥5.
【答案】分析:設(shè)出二次函數(shù)的零點(diǎn)式,抓住整系數(shù)多項(xiàng)式,各系數(shù)都是整數(shù),結(jié)合f(0)≥1,f(1)≥1,利用不等式化簡變形即可.
解答:證明:設(shè)二次三項(xiàng)式為:f(x)=a(x-x1)(x-x2),a∈N.
依題意知:0<x1<1,0<x2<1,且x1≠x2.于是有
f(0)>0,f(1)>0.
又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2為整系數(shù)二次三項(xiàng)式,
所以f(0)=ax1x2,f(1)=a•(1-x1)(1-x2)為正整數(shù)
故f(0)≥1,f(1)≥1.
從而f(0)•f(1)≥1.①
另一方面,
x1(1-x1,x2(1-x2
且由x1≠x2知等號(hào)不同時(shí)成立,所以
x1(1-x1
a2x1(1-x1)x2(1-x2
由①、②得,a2>16.又a∈N,所以a≥5.
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)的證明問題以及不等式的簡單應(yīng)用,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“整數(shù)系數(shù)”限制范圍,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知對于自然數(shù)a,存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式,它有兩個(gè)小于1的正根,求證:a≥5.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知對于自然數(shù)a,存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式,它有兩個(gè)小于1的正根,求證:a≥5.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:專項(xiàng)題 題型:解答題

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c及一次函數(shù)g(x)=-bx。
(1)若a>b>c,a+b+c=0,設(shè)f(x)與g(x)兩圖像交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)線段AB在x軸上射影為A1B1時(shí),試求|A1B1|的取值范圍;
(2)對于自然數(shù)a,存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式f(x),使f(x)=0有兩個(gè)小于1的不等正根,求a的最小值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

 已知

(Ⅰ)已知對于給定區(qū)間,存在使得成立,求證:唯一;

(Ⅱ)若,當(dāng)時(shí),比較大小,并說明理由;

(Ⅲ)設(shè)ABC是函數(shù)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn),

 求證:△ABC是鈍角三角形.


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同步練習(xí)冊答案
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