Question

【題目】已知為奇函數，為偶函數，且.

（1）求及的解析式及定義域；

（2）如函數在區間上為單調函數，求實數的范圍.

（3）若關于的方程有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）.

【解析】試題

（1）依題意，由 ，即可求得 及解析式；（2）因為 ,所以 ,由二次函數的性質可知，要使函數 在區間 上為單調函數,，只要 或即可，由此即可求出結果；（3）因為，所以，然后再進行換元，令， 因為的定義域為，，可得，則，由于關于的方程有解，則，由此即可求出結果.

試題解析：（1）因為是奇函數，是偶函數，

所以，，

，①

令取代入上式得，

即，②

聯立①②可得，，

.

（2）因為，

所以，

因為函數在區間上為單調函數，

所以或，

所以所求實數的取值范圍為：或.

（3）因為，

所以，

設，

則 ，

因為的定義域為， ，

所以，，

即，則 ，

因為關于的方程有解，則，

故的取值范圍為 .