Question

在數列{a_n}中，對于任意n∈N^*，等式a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）b成立，其中常數b≠0．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求證：數列{2^a_n}為等比數列；
（Ⅲ）如果關于n的不等式

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞

c

a1

（c∈R）的解集為{n|n≥3，n∈N^*}，求b和c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知等式，寫出a1=(21-21+1)b，a1+2a2=(2•22-22+1)b，由此可求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）由已知等式，再寫一式，兩式相減，即可證明數列{2^a_n}為等比數列；
（Ⅲ）不等式

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞

c

a1

化簡為

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

，分類討論，結合函數的單調性，即可求b和c的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：因為a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)b，
所以a1=(21-21+1)b，a1+2a2=(2•22-22+1)b，
解得a₁=b，a₂=2b．…（3分）
（Ⅱ）證明：當n≥2時，由a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)b，①
得a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[(n-1)•2n-1-2n-1+1]b，②
將①，②兩式相減，得 2n-1an=(n•2n-2n+1)b-[(n-1)•2n-1-2n-1+1]b，
化簡，得a_n=nb，其中n≥2．…（5分）
因為a₁=b，所以a_n=nb，其中n∈N^*．…（6分）
因為

2an

2an-1

=2an-an-1=2b(n≥2)為常數，
所以數列{2an}為等比數列．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得a2n=2nb，…（9分）
所以

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

=

1

2b

+

1

4b

+…+

1

2nb

=

1

b

×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

b

(1-

1

2n

)，…（11分）
又因為

1

a1

=

1

b

，
所以不等式

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞

c

a1

化簡為

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

，
當b＞0時，考察不等式

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

的解，
由題意，知不等式1-

1

2n

＞c的解集為{n|n≥3，n∈N^*}，
因為函數y=1-(

1

2

)x在R上單調遞增，所以只要求 1-

1

23

＞c且1-

1

22

≤c即可，
解得

3

4

≤c＜

7

8

；                                        …（13分）
當b＜0時，考察不等式

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

的解，
由題意，要求不等式1-

1

2n

＜c的解集為{n|n≥3，n∈N^*}，
因為1-

1

22

＜1-

1

23

，
所以如果n=3時不等式成立，那么n=2時不等式也成立，
這與題意不符，舍去．
所以b＞0，

3

4

≤c＜

7

8

．…（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查等比數列的證明，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．