Question

（本小題滿分12分）

如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，

E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值．

（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD

的體積．

Answer 1

（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形

Þ∥且=Þ為平行四邊形

Þ ∥Þ的所成角．

中，BF= ,PF=，PB=3Þ

Þ異面直線PB和DE所成角的余弦為

（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=a,

可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，則有：

       因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量為， 

設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量為，則可得      即 

       令x=1,得，所以.  由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，所以得：， 解得．

   因?yàn)镻D是四棱錐P-ABCD的高，所以，其體積為．