Question

如圖，在△ABC中，已知點D是BC邊的三等分點且BD=

1

3

BC，過點D的直線分別交直線AB，AC于E，F兩點，若

AE

=λ

AB

（λ＞0），

AF

=μ

AC

（μ＞0），則λ+2μ的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：導數的綜合應用,平面向量及應用

分析：由已知條件，

EB

=

ED

+

DB

=(1-λ)

AB

，而

ED

=-kλ

AB

+kμ

AC

，

DB

=

1

3

AB

-

1

3

AC

，所以得到(

1

3

-kλ)

AB

+(kμ-

1

3

)

AC

=(1-λ)

AB

．從而得到

1 3 -kλ=1-λ kμ- 1 3 =0

，消去k并求得μ=

λ

3λ-2

，所以λ+2μ=λ+

2λ

3λ-2

，通過求導求關于λ的函數λ+

2λ

3λ-2

的最小值即可．

解答： 解：

EB

=

ED

+

DB

=(1-λ)

AB

；
E，D，F三點共線，∴存在實數k，使

ED

=k

EF

=k(

AF

-

AE

)=-kλ

AB

+kμ

AC

，

DB

=

1

3

CB

=

1

3

AB

-

1

3

AC

；
∴(

1

3

-kλ)

AB

+(kμ-

1

3

)

AC

=(1-λ)

AB

；
∴

1 3 -kλ=1-λ ① kμ- 1 3 =0 ②

；
由②得，k=

1

3μ

帶入①得，

1

3

-

λ

3μ

=1-λ；
∴μ=

λ

3λ-2

；
∴λ+2μ=λ+

2λ

3λ-2

；
設f（λ）=λ+

2λ

3λ-2

，λ＞0；
∴f′(λ)=

9λ2-12λ

(3λ-2)2

，令f′（λ）=0得，λ=0，或

4

3

；
∴λ∈(0，

4

3

)時，f′（λ）＜0，λ∈(

4

3

，+∞)時，f′（λ）＞0；
∴λ=

4

3

時，f（λ）取極小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值為

8

3

；
即λ+2μ的最小值為

8

3

．
故答案為：

8

3

．

點評：考查向量的加法、減法運算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，通過求導求函數的最小值的方法及過程．