Question

【題目】已知圓，點坐標為．

（1）如圖1，斜率存在且過點的直線與圓交于兩點．①若，求直線的斜率；②若，求直線的斜率．

（2）如圖2，為圓上兩個動點，且滿足，為中點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①或1；②或；（2）；

【解析】

（1）設直線的方程為：，，，聯立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，由，則，即，即可求出的值；由，則，解方程組即可；

（2）連結，依題意可得，可得，設點的坐標為，即可得動點點的軌跡；

解：（1）設直線的方程為：，，．

聯立方程得：，消去整理可得：．

恒成立，

由韋達定理可得：①，②．

又，，即．

整理可得：．

將①②代入可得：．

，化簡得：．

直線的斜率的值為或1．

（2）點，，．

，，整理可得．

都在圓上，，即．

③-④可得：．

將代入解得：．

此時，直線的斜率的值為或．

（3）如圖，連結．

，，

又為中點，．

為圓上兩點，，

又為中點，．

，又，．

設點的坐標為

，整理可得：．

點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．

．