Question

設函數f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間內存在唯一的零點；
（2）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設x_n是f_n（x）在內的零點，判斷數列x₂，x₃，…，x_n的增減性．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據 f_n（）f_n（1）=（-）×1＜0，以及f_n（x）在區間內單調遞增，可得f_n（x）在區間內存在唯一的零點．
（2）當n=2，由題意可得函數f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值的差M≤4，分當＞1時、當-1≤-＜0時、當0≤-≤1 時三種情況，分別求得b的取值范圍，再取并集，
即得所求．
（3）證法一：先求出f_n（x_n）和f_n+1（x_n+1）的解析式，再由當x_n+1∈時，f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1＜+x_n+1-1=f_n（x_n+1），且
f_n（x）在區間內單調遞增，故有x_n＜x_n+1，從而得出結論．
證法二：設x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在內的唯一零點，由f_n+1（x_n） f_n+1（1）＜0可得 f_n+1（x）的零點在（x_n，1）內，從而有 x_n＜x_n+1 （n≥2），由此得出結論．
解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，f_n（x）=xⁿ+bx+c=xⁿ+x-1，∴f_n（）f_n（1）=（-）×1＜0，
∴f_n（x）在區間內存在零點．再由f_n（x）在區間內單調遞增，可得f_n（x）在區間內存在唯一的零點．
（2）當n=2，函數f₂（x）=x²+bx+c，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，故函數f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值的差M≤4．
當＞1時，即b＞2或 b＜-2時，M=|f₂（-1）-f₂（1）|=2|b|＞4，這與題設相矛盾．
當-1≤-＜0時，即0＜b≤2時，M=f₂（1）-=≤4 恒成立．
當0≤-≤1 時，即-2≤b≤0時，M=f₂（-1）-=≤4 恒成立．
綜上可得，-2≤b≤2．
（3）證法一：在（1）的條件下，x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在內的唯一零點，則有f_n（x_n）=+x_n-1=0，
f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1=0．
當x_n+1∈時，f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1＜+x_n+1-1=f_n（x_n+1）．
由（1）知，f_n（x）在區間內單調遞增，故有x_n＜x_n+1，故數列x₂，x₃，…，x_n單調遞增數列．
證法二：設x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在內的唯一零點，f_n+1（x_n） f_n+1（1）=（+x_n-1）×1=+x_n-1＜+x_n-1=0，
故f_n+1（x）的零點在（x_n，1）內，∴x_n＜x_n+1 （n≥2），故數列x₂，x₃，…，x_n單調遞增數列．
點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，樹立與函數的綜合，體現了分類討論、化歸與轉化的數學思想，屬于難題．