Question

設函數f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間內存在唯一的零點；
（2）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設x_n是f_n（x）在內的零點，判斷數列x₂，x₃，…，x_n…的增減性。

Answer 1

解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，f_n（x）=xⁿ+bx+c=xⁿ+x-1，
∴f_n（）f_n（1）=（-）×1＜0，
∴f_n（x）在區間內存在零點
再由f_n（x）在區間內單調遞增，可得f_n（x）在區間內存在唯一的零點。
（2）當n=2，函數f₂（x）=x²+bx+c，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故函數f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值的差M≤4。
當＞1時，即b＞2或 b＜-2時，M=|f₂（-1）-f₂（1）|=2|b|＞4，這與題設相矛盾
當-1≤-＜0時，即0＜b≤2時，M=f₂（1）-=≤4 恒成立
當0≤-≤1 時，即-2≤b≤0時，M=f₂（-1）-=≤4 恒成立
綜上可得，-2≤b≤2。
（3）在（1）的條件下，x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在內的唯一零點，
則有f_n（x_n）=+x_n-1=0，f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1=0
當x_n+1∈時，f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1＜+x_n+1-1=f_n（x_n+1）．由（1）知，f_n（x）在區間內單調遞增，故有x_n＜x_n+1，故數列x₂，x₃，…，x_n單調遞增數列。