Question

【題目】設為平面上個點的集合，其中任三點不共線，任四點不共圓．一個圓被稱為“好圓”是指中有三個點在圓上，個點在圓內，個點在圓外．求證：好圓的個數與有相同的奇偶性．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

考慮個點對，設包含點對的好圓個數為，則好圓總個數應為（因為每個圓包含三個點對）．由于與同奇偶，故只須證明所有均為奇數即可．

對任一點對，把在下方的任一點，比如說，在上方作一點，使，把下方的所有點通過此種變換變到上方．由于四點不共圓，故上方的所有點對的張角大小互不相同．將除外的個點按張角從小到大的順序標號．若此點原來就在上方，則標記“上”；若此點是由原來在下方的點變換而得，則標“下”．由于每個點只和它對的張角的大小有關系，故不妨將個點排成一條與垂直的直線，張角小的在上．注意到，若過、、三點作圓，則對于那些標有“下”的點來說，若它處于圓內，則變換前必處于圓外，反之亦然．

從而，過點、、的圓為好圓等價于上方的“上”點數下方的“下”點數

下方的“上”點數上方的“下”點數． ①

于是，只須證明：滿足上面條件的有奇數個．

（1）當均為“上”點，顯然，只有一個點滿足條件，點數為奇數．

此時，“下”點個數為0個．

（2）若，易知點數為奇數．

對一般的個點：

（i）若1和均標“上”，則1和必同時滿足或不滿足條件．

而由對稱性，可去掉1，兩點，剩下的點原來滿足條件與否等價于現在滿足條件與否．

故可把個點的情形化為個點的情形（它們的奇偶性相同）．

（ii）若1，兩點中有1個點標“下”，不妨設為1，把點1標的“下”改為“上”，并放到點的下面，標號，則原來點1滿足式①當且僅當現在點滿足式①，原來滿足式①當且僅當現在變換后點滿足式①．若是點標“下”，把“下”改為“上”放到點1的上面，情況完全類似．此時，“下”的個數減少1，雖然點數沒變．

故不斷對個點進行操作（i）或（ii），可使得點數不斷減少（每次減少2）或“下”點數不斷減少（每次減少1）．于是，有限步后，必變成無標“下”的點或只有3個點的情形．此時，由（1）、（2）即可獲證．

綜上所述，原命題得證．