Question

已知f（x）=3sin（2x-

π

6

），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α-x）對一切實數x恒成立，則α=

 

．

Answer 1

分析：依題意，f（x）=3sin（2x-

π

6

），且f（α+x）=f（α-x）⇒y=f（x）關于x=α對稱，利用正弦函數的對稱性及α∈（0，π）即可求得α的值．

解答：解：∵f（x）=3sin（2x-

π

6

），且f（α+x）=f（α-x），
∴y=f（x）關于直線x=α對稱，
由正弦函數的對稱性得：2α-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴α=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），
又α∈（0，π），
∴k=0時，α=

π

3

；
k=1時，α=

π

2

+

π

3

=

5π

6

．
故答案為：

π

3

，

5π

6

．

點評：本題考查正弦函數的對稱性，f（α+x）=f（α-x）⇒y=f（x）關于x=α對稱是關鍵，考查函數恒成立問題，屬于中檔題．