Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁與A₁D相交于點O．
（1）求證：CD⊥平面AA₁D₁D
（2）判斷直線AD₁與平面A₁B₁CD的位置關系，并證明；
（3）求直線AB₁與平面A₁B₁CD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由正方體的性質可得CD⊥DD₁，CD⊥AD結合①②根據直線與平面垂直的判定定理可證CD⊥平面AA₁D₁D
（2）由正方體的性質可得AD₁⊥A₁D，①A₁B₁⊥AD₁②，結合①②根據直線與平面垂直的判定定理可證AD₁⊥平面A₁B₁CD
（3）由（2）可知AO為平面A₁B₁CD的垂線，連接B₁O，故可得∠AB₁O即為所求的角，在直角三角形AB₁O中求解即可

解答：證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有的面均為正方形
∴CD⊥DD₁，CD⊥AD
又∵DD₁∩AD=D，DD₁，AD?平面AA₁D₁D∴
CD⊥平面AA₁D₁D
解：（2）AD₁⊥平面A₁B₁CD．
證明：∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥AD₁，
AD₁⊥A₁D，A₁D∩A₁B₁=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）連接B₁O．∵AD₁⊥平面A₁B₁CD于點O，
∴直線B₁O是直線AB₁在平面A₁B₁CD上的射影．
∴∠AB₁O為直線AB₁與平面A₁B₁CD所成的角．
又∵AB₁=2AO，
∴sin∠AB1O=

AO

AB1

=

1

2

．
∴∠AB₁O=30°．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的運用，“線線垂直”與“線面垂直”的相互轉化，還考查了直線與平面所成角，及考生的空間想象能力．