Question

【題目】在如圖所示的五面體中，面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AD中點O，以O為原點，OA為x軸， 過O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，
建立空間直角坐標系，

則B（1，1，0），E（0，0， ），A（1，0，0），
C（﹣1，2，0），F（0，4， ），
=（﹣1，﹣1， ）， =（﹣1，4， ），
=（﹣2，2，0），
=1﹣4+3=0， =2﹣2=0，
∴BE⊥AF，BE⊥AC，
又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．
解：（Ⅱ） =（﹣2，1，0）， =（﹣1，3， ），
設平面BCF的法向量 =（x，y，z），
則 ，取x=1，得 =（1，2，﹣ ），
平面ABC的法向量 =（0，0，1），
設二面角A﹣BC﹣F的平面角為θ，
則cosθ= = = ．
∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）取AD中點O，以O為原點，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．