Question

【題目】設數列{an}滿足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn為{an}的前n項和．證明：對任意n∈N* ，
（I）當0≤a1≤1時，0≤an≤1；
（II）當a1＞1時，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；
（III）當a1= 時，n﹣ ＜Sn＜n．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）用數學歸納法證明． ①當n=1時，0≤an≤1成立．
②假設當n=k（k∈N*）時，0≤ak≤1，
則當n=k+1時， =（ ）2+ ∈[ ][0，1]，
由①②知， ．
∴當0≤a1≤1時，0≤an≤1．
（Ⅱ）由an+1﹣an=（ ）﹣an=（an﹣1）2≥0，知an+1≥an ．
若a1＞1，則an＞1，（n∈N*），
從而 = ﹣an=an（an﹣1），
即 =an≥a1 ，
∴ ，
∴當a1＞1時，an＞（a1﹣1）a1n﹣1 ．
（Ⅲ）當 時，由（Ⅰ），0＜an＜1（n∈N*），故Sn＜n，
令bn=1﹣an（n∈N*），由（Ⅰ）（Ⅱ），bn＞bn+1＞0，（n∈N*），
由 ，得 ．
∴ =（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（bn﹣bn+1）=b1﹣bn+1＜b1= ，
∵ ≥ ，
∴nbn2 ，即 ，（n∈N*），
∵ = = ，
∴b1+b2+…+bn [（ ）+（ ）+…+（ ）]= ，
即n﹣Sn ，亦即 ，
∴當 時， ．
【解析】（Ⅰ）用數學歸納法能證明當0≤a1≤1時，0≤an≤1．（Ⅱ）由an+1﹣an=（ ）﹣an=（an﹣1）2≥0，知an+1≥an ． 從而 =an≥a1 ， 由此能證明當a1＞1時，an＞（a1﹣1）a1n﹣1 ． （Ⅲ）當 時，Sn＜n，令bn=1﹣an（n∈N*），則bn＞bn+1＞0，（n∈N*），由 ，得 ．從而 ，（n∈N*），由此能證明當 時， ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．