Question

【題目】已知點A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C 的軌跡方程；

（2）Q為直線y=﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）最小值4

【解析】試題分析：（Ⅰ）設，由題意得，化簡可得曲線的方程為 ； （Ⅱ）設，切線方程為，與拋物線方程聯立互為，由于直線與拋物線相切可得，解得，可切點，由，利用韋達定理，得到，得到為直角三角形，得出三角形面積的表達式，即可求解三角形的最小值．

試題解析：（Ⅰ）設M（x，y），由題意可得： ，

化為x2=4y．

∴曲線C 的軌跡方程為x2=4y且（x≠±4）．

聯立，化為x2﹣4kx+4（km+1）=0，

由于直線與拋物線相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．

∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切點（2k，k2），

由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1k2=﹣1．

∴切線QD⊥QE．

∴△QDE為直角三角形， |QD||QE|．

令切點（2k，k2）到Q的距離為d，

則d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），

∴|QD|=，

|QE|=，

∴（4+m2）=≥4，

當m=0時，即Q（0，﹣1）時，△QDE的面積S取得最小值4．