Question

在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD
（1）求證：AB⊥平面PBC；
（2）求三棱錐C-ADP的體積；
（3）在棱PB上是否存在點(diǎn)M使CM∥平面PAD？若存在，求

PM

PB

的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性質(zhì)，根據(jù)AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得證；
（2）取BC的中點(diǎn)O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，即可求得結(jié)論；
（3）取AB的中點(diǎn)N，連接CM，CN，MN，證明平面MNC∥平面PAD，可得CM∥平面PAD．

解答：（1）證明：因?yàn)椤螦BC=90°，所以AB⊥BC．
因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC；
（2）解：取BC的中點(diǎn)O，連接PO

∵PB=PC，∴PO⊥BC
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴PO⊥平面ABCD，
在等邊三角形PBC中，PO=

3

∴VC-ADP=VP-ACD=

1

3

S△ACD•PO=

1

3

•1•

3

=

3

3

（3）解：在棱PB上存在點(diǎn)M使得CM∥平面PAD，此時(shí)

PM

PB

=

1

2

．理由如下：
取AB的中點(diǎn)N，連接CM，CN，MN，則MN∥PA，AN=

1

2

AB．
因?yàn)锳B=2CD，所以AN=CD．
因?yàn)锳B∥CD，所以四邊形ANCD是平行四邊形．
所以CN∥AD．
因?yàn)镸N∩CN=N，PA∩AD=A，所以平面MNC∥平面PAD
因?yàn)镃M?平面MNC，所以CM∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查三棱錐的體積，考查線面平行，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，屬于中檔題．