Question

如圖，把邊長為a的正六邊形紙板剪去相同的六個角，做成一個底面為正六邊形的無蓋直六棱柱的盒子（不計接縫），要使所做成的盒子體積最大，問如何裁剪？

Answer 1

分析：由圖形設BO長為x，可求出AB，在直角三角形ABD中解三角形算出BD的長，即求出六棱柱的高的關于x的表達式，再求出底面的用x表示的面積表達式，用體積公式就可以得到六棱柱的體積表達式，再利用函數的單調性判斷出函數取到最值時x的值即可．

解答：解：設原正六邊形中剪去六個角中的其中一個為ADBC，連接AO（O為正六邊形的外接圓的圓心），又設BO長為x，則直六棱柱的盒子的體積為
V（x）=6×

3

4

x²（a-x）×

3

2

=（a-x）x²=

9

4

（ax²-x³），
∴V′（x）=

9

4

（2ax-3x²），
令V′（x）=

9

4

（2ax-3x²）=0，得x=

2

3

a，x=0（舍），
因為V（x）只有一個極值，所以它是最大值，
即x=

2

3

a時，[V（x）]_max=

a3

3

，
因此，只要連接AO，在AO上取AB長為

a

3

，再過點B作BC垂直于正六邊形的邊長于點C，BD垂直于正六邊形的邊長于點D，剪去四邊形ADBC，同樣可剪去另外五角，則折成無蓋直六棱柱的盒子體積最大．

點評：考查直六棱柱的體積公式，及用公式將幾何問題轉化為函數最值的能力，用導數證明函數的單調性求出最值及最值取到時自變量的求法．