Question

（2011•洛陽一模）某班級舉行一次知識競賽，活動分為初賽和決賽，現將初賽成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，制成如下頻率分布表．

分組（分數段）	頻數（人數）	頻率
（60，70）	8	0.16
（70，80）	22	0.44
（80，90）	14	0.28
（90，100）	6	0.12
合計	50	1

（1）填充頻率分布表中的空格（直接寫出對應空格序號的答案，不必寫過程）；
（2）決賽規則如下：參加決賽的同學依次回答主持人的4道題，答對2道就終止答題，并獲得一等獎；如果前三道題都答錯，就不再回答第四題．某同學甲現已進入決賽（初賽80分以上，不含80分），每題答對的概率P的值恰好等于頻率分布表中80分以上的頻率值．
①求該同學答完3道題而獲得一等獎的概率；
②記該同學決賽中答題的個數為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）根據樣本容量，頻率和頻數之間的關系得到要求的幾個數據；
（2）①該同學恰好答滿3道題而獲得一等獎，即前2道題中剛好答對1道，第3道也能夠答對才獲得一等獎，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，所以該同學答題個數為2、3、4，結合變量對應的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）由題意，根據樣本容量，頻率和頻數之間的關系得到①0.16×50=8；②

22

50

=0.44；③50-8-22-14=6④

6

50

=0.12；⑤合計頻率為1；
（2）由（1）得，P=0.28+0.12=0.4，
①該同學恰好答滿3道題而獲得一等獎，即前2道題中剛好答對1道，第3道也能夠答對才獲得一等獎，
則有C₂¹×0.4×0.6×0.4=0.192；
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，
∴該同學答題個數為2、3、4，即ξ=2、3、4，
P（ξ=2）=0.4²=0.16，
P（ξ=3）=C₂¹0.4×0.6×0.4+0.6³=0.408，
P（ξ=4）=C₃¹0.4×0.6²=0.432，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	0.16	0.408	0.432

點評：本題考查頻率、頻數和樣本容量之間的關系，考查離散型隨機變量的隨機變量的分布列及數學期望，是一個綜合題．