已知x,y∈R.求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.
證明（充分性）
若xy≥0,則x,y至少有一個為0或同號.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證
證明（充分性）
若xy≥0,則x,y至少有一個為0或同號.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,則(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.綜上，命題得證.
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