Question

已知函數，其中n∈N^*，a為常數．
（Ⅰ）當n=2時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，有f（x）≤x-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求：“當n=2時，”的極值，利用導數，求其導函數的零點及單調性進行判斷即可；
（2）欲證：“f（x）≤x-1”，令，利用導函數的單調性，只要證明函數f（x）的最大值是x-1即可．
解答：解：（Ⅰ）解：由已知得函數f（x）的定義域為{x|x＞1}，
當n=2時，，所以．
（1）當a＞0時，由f'（x）=0得，，
此時．
當x∈（1，x₁）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（x₁，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
（2）當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值．
綜上所述，n=2時，
當a＞0時，f（x）在處取得極小值，極小值為．
當a≤0時，f（x）無極值．
（Ⅱ）證法一：因為a=1，所以．
當n為偶數時，
令，
則（x≥2）．
所以當x∈[2，+∞）時，g（x）單調遞增，
又g（2）=0，
因此恒成立，
所以f（x）≤x-1成立．
要證f（x）≤x-1，由于，所以只需證ln（x-1）≤x-1，
令h（x）=x-1-ln（x-1），
則（x≥2），
所以當x∈[2，+∞）時，h（x）=x-1-ln（x-1）單調遞增，又h（2）=1＞0，
所以當x≥2時，恒有h（x）＞0，即ln（x-1）＜x-1命題成立．
綜上所述，結論成立．
證法二：當a=1時，．
當x≥2時，對任意的正整數n，恒有，
故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-（1+ln（x-1））=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
則，
當x≥2時，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調遞增，
因此當x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立．
故當x≥2時，有．
即f（x）≤x-1．
點評：本題主要考查函數的導數、不等式等知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力．