Question

已知函數，其中n∈N*，a為常數。
（1）當n=2時，求函數f（x）的極值；
（2）當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，有f（x）≤x-1。

Answer 1

解：（1）由已知得函數f（x）的定義域為{x|x＞1}，
當n=2時，
所以f′（x）=
（i）當a＞0時，由f′（x）=0得
＞1，＜1
此時f′（x）=
當x∈（1，x₁）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＞0， f（x）單調遞增
（ii）當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值
綜上所述，n=2時，當a＞0時，f（x）在處取得極小值，極小值為
當a≤0時，f（x）無極值。
（2）因為a=1，所以
當n為偶數時，令
則g′（x）=1+＞0（x≥2）
所以當x∈[2，+∞]時，g（x）單調遞增，
又g（2）=0
因此≥g（2）=0恒成立，
所以f（x）≤x-1成立；
當n為奇數時，
要證≤x-1，由于＜0，所以只需證ln（x-1） ≤x-1，
令h（x）=x-1-ln（x-1），
則h′（x）=1-≥0（x≥2），
所以，當x∈[2，+∞]時，單調遞增，
又h（2）=1＞0，
所以當x≥2時，恒有h（x）＞0，
即ln（x-1）＜x-1命題成立
綜上所述，結論成立。