Question

在平面直角坐標系中，若，且，

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知定點，若斜率為的直線過點并與軌跡交于不同的兩點，且對于軌跡上任意一點，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實數的值。

Answer 1

（1）軌跡是以為焦點的橢圓，方程為  

（2）的值是。

解析:

（1）∵，且，

∴動點到兩個定點的距離的和為4，

∴軌跡是以為焦點的橢圓，方程為  

（2）設，直線的方程為，代入，

消去得 ，

     由得 ，  且，            

    ∴                                     

    設點，由可得

∵點在上，

∴

   

       

                                         

∴，

又因為的任意性，∴，                   

∴，又，   得 ，

   代入檢驗，滿足條件，故的值是。