Question

給出以下結論：
①甲從四面體中任意選擇一條棱，乙也從該四面體中任意選擇一條棱，則所得的兩條棱所在的直線是異面直線的概率是

1

6

；
②等比數列{a_n}中，若a₃=2，a₇=8，則a₅=±4．
③若關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）上沒有實數根，則k的取值范圍是k≥2；
④在△ABC中，若sinA＞sinB，則cosA＜cosB；
其中正確的結論是

④

（填上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：①先求出四面體棱中異面直線的對數，再利用古典概型求概率判斷；
②利用等比數列的性質求解，判斷②是否正確；
③利用導數判定函數的單調性，再求函數的值域，利用函數思想分析判斷即可．
④根據在△中，sinA＞sinB的充要條件是A＞B，再利用余弦函數的單調性判斷④是否正確．

解答：解：①∵四面體兩條棱所在直線共有3對異面直線

3

6×6

=

1

12

，∴①錯誤；
②根據等比數列的性質， a52=a₃×a₇=16，∴a₅=±4，又∵a₅=-4 時，a₄不存在，∴a₅=4∴②錯誤；
③∵t=

1

x

-x，t^′=-

1

x2

-1，x∈（0，1），t^′（x）＜0，∴t（x）在（0，1）上遞減∴

1

x

-x∈（0，+∞），∵k=

1

x

-x，無實根，∴k≤0，故③錯誤；
④∵在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，又在（0，π）上y=cosx遞減，∴cosA＜cosB，∴④正確．
故答案是④

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查等比數列的性質、導數的應用及概率統計．