Question

給出以下結論：
①甲從四面體中任意選擇一條棱，乙也從該四面體中任意選擇一條棱，則所得的兩條棱所在的直線是異面直線的概率是

1

6

；
②關于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜2

2

；
③若關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈(0，1)上沒有實數根，則k的取值范圍是k≥2；
④函數f（x）=e^x-x-2（x≥0）有一個零點．
其中正確的結論是

①④

（填上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：通過四面體的特征判斷①的正誤；
利用三角函數的最小值判斷②的正誤；
利用方程沒有實數根求出k的范圍，判斷③的正誤；
利用函數的導數與單調性，判斷函數的零點的個數判斷④的正誤；

解答：解：四面體中任意選擇一條棱，共有六種情況，而異面直線有三對，①正確；
sin2x+

2

sin2x

中sinx=1時，取得最小值為3，∴a＜3，所以②不正確；
關于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈(0，1)上沒有實數根，即函數f（x）=x-

1

x

與直線y=-k在x∈（0，1）時無交點，又函數f（x）是增函數，
故k的取值范圍是k≤0，③不正確；
對于④函數f（x）=e^x-x-2可得f′（x）=e^x-1，故x＞0時函數f（x）是增函數，
又f（0）=e⁰-2=-1＜0，f（2）=e²-4＞0，所以函數有且只有一個零點，
④正確．
故答案為：①④．

點評：本題是綜合題，考查四面體的特征，函數的最值，函數的單調性與導數的關系，函數的零點等知識，考查邏輯推理能力，計算能力．