Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，S_n是它的前n項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列{S_n}不是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）假設(shè)數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，則S₂²=S₁S₃，利用等比數(shù)列的求和公式可求q，結(jié)合等比數(shù)列的公比性質(zhì)可判斷
（2）分q=1，q≠1兩種情況分別利用等比數(shù)列的求和公式代入即可證明

解答：解：（1）證明：假設(shè)數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，則S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
因?yàn)閍₁≠0，所以（1+q）²=1+q+q²，即q=0，這與公比q≠0矛盾，
所以數(shù)列{S_n}不是等比數(shù)列．
（2）當(dāng)q=1時，{S_n}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時，{S_n}不是等差數(shù)列，
否則2S₂=S₁+S₃，即2a₁（1+q）=a₁+a₁（1+q+q²），得q=0，這與公比q≠0矛盾，
所以數(shù)列{S_n}不是等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的判斷，屬于基礎(chǔ)試題