Question

設球的半徑為時間t的函數R（t）．若球的表面積以均勻速度c增長，則球的體積的增長速度與球半徑（　　）

• A、成正比，比例系數為

  c

  2

• B、成反比，比例系數為

  c

  2

• C、成反比，比例系數為c
• D、成正比，比例系數為c

Answer 1

分析：求出球的體積的表達式，然后球的導數，推出8πR（t）R′（t）=c，利用面積的導數是體積，求出球的表面積的增長速度與球半徑的比例關系．

解答：解：由題意可知球的表面積為S（t）=4πR²（t），
∴V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t）=c，
∴R（t）R′（t）=

c

8π

球的體積為 V(t)=

4

3

πR3(t)，
則V′（t）=4πR²（t）R′（t）=4πR（t）•

c

8π

=

c

2

•R（t），
即球的體積的增長速度與球半徑成正比，且比例系數為

c

2

故選A

點評：本題考球的體積與表面積，導數的幾何意義，其中根據已知中球的表面積以均勻速度c增長，c與R（t）及R′（t）之間的關系，是解答本題的關鍵．