科目:高中數學 來源: 題型:解答題
定義在[﹣1,1]上的奇函數f(x)滿足f(1)=2,且當a,b∈[﹣1,1],a+b≠0時,有.
(1)試問函數f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,若存在,求出A,B兩點的坐標;若不存在,請說明理由并加以證明.
(2)若對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實數m的取值范圍.
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某公司為一家制冷設備廠設計生產某種型號的長方形薄板,其周長為4m.這種薄板須沿其對角線折疊后使用.如圖所示,ABCD(AB>AD)為長方形薄板,沿AC折疊后AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節能,凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好.
(1)設AB=xm,用x表示圖中DP的長度,并寫出x的取值范圍;
(2)若要求最節能,應怎樣設計薄板的長和寬?
(3)若要求制冷效果最好,應怎樣設計薄板的長和寬?
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如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.
(1)求炮的最大射程;
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.
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已知函數和函數
,其中
為參數,且滿足
.
(1)若,寫出函數
的單調區間(無需證明);
(2)若方程在
上有唯一解,求實數
的取值范圍;
(3)若對任意,存在
,使得
成立,求實數
的取值范圍.
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設函數f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b,求證:
(1)a>0,且-3<<-
;
(2)函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點;
(3)設x1,x2是函數f(x)的兩個零點,則≤|x1-x2|<
.
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某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品,估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益.現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:資金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過9萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.
(1)若建立函數y=f(x)模型制定獎勵方案,試用數學語言表述該公司對獎勵函數f(x)模型的基本要求,并分析函數y=+2是否符合公司要求的獎勵函數模型,并說明原因;
(2)若該公司采用模型函數y=作為獎勵函數模型,試確定最小的正整數a的值.
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