Question

（2013•海淀區二模）在平面直角坐標系中，動點P（x，y）到兩條坐標軸的距離之和等于它到點（1，1）的距離，記點P的軌跡為曲線為W．
（Ⅰ）給出下列三個結論：
①曲線W關于原點對稱；
②曲線W關于直線y=x對稱；
③曲線W與x軸非負半軸，y軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于

1

2

；
其中，所有正確結論的序號是

②③

；
（Ⅱ）曲線W上的點到原點距離的最小值為

2-

2

．

Answer 1

分析：根據動點P（x，y）到兩條坐標軸的距離之和等于它到點（1，1）的距離，可得曲線方程，作出曲線的圖象，即可得到結論．

解答：解：∵動點P（x，y）到兩條坐標軸的距離之和等于它到點（1，1）的距離，
∴|x|+|y|=

(x-1)2+(y-1)2

∴|xy|+x+y-1=0
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y-1）（1-x）=0
函數的圖象如圖所示
∴曲線W關于直線y=x對稱；曲線W與x軸非負半軸，y軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于

1

2

；
由y=x與（x+1）（y+1）=2聯立可得x=

2

-1，∴曲線W上的點到原點距離的最小值為

2

(

2

-1)=2-

2

故答案為：②③；2-

2

點評：本題考查軌跡方程，考查數形結合的數學思想，求出軌跡方程，正確作出曲線的圖象是關鍵．