Question

已知函數f（x）=2

x

-lnx-2．
（I）求f（x）的單調區間；
（II）若不等式

x-m

lnx

＞

x

恒成立，求實數m的取值組成的集合．

Answer 1

分析：（I）求出函數的導數，得出導數的零點為x=1，根據導數的正負，得出函數的單調區間；
（II）根據lnx的符號，將不等式

x-m

lnx

＞

x

變形為m＞x-

x

lnx或m＜x-

x

lnx，根據（I）的結論討論函數的最值，可得實數m的取值為m=1

解答：解：（I）由已知得x＞0．
因為f′（x）=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

所以當x∈（0，1）?f′（x）＜0，
x∈（1，+∞），?f′（x）＞0．
故區間（0，1）為f（x）的單調遞減區間，
區間（1，+∞）為f（x）的單調遞增區間．
（II）（i）當x∈（0，1）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx．
令g（x）=x-

x

lnx，
則g′（x）=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

=

f(x)

2 x

．
由（1）知當x∈（0，1）時，有f（x）＞f（1）=0，所以g′（x）＞0，
即得g（x）=x-

x

lnx在（0，1）上為增函數，
所以g（x）＜g（1）=1，所以m≥1．
（ii）當x∈（1，+∞）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx．
由①可知，當x∈（1，+∞）時，g（x）=x-

x

lnx為增函數，
所以g（x）＞g（1）=1，所以m≤1．
綜上，得m=1．
故實數m的取值組成的集合為：{1}．

點評：本題考查了運用導數研究函數的單調性，討論出函數的最值，屬于中檔題．解題時應該注意分類討論思想以及變量分離思路的應用．