Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=6，PB=2，PC=1．設M是底面ABC內一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是三棱錐M-PAB，三棱錐M-PBC，三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（

5

3

，x，y），且

1

x

+

a

y

≥27恒成立，則正實數a的最小值為

4

．

Answer 1

分析：先根據三棱錐的特點求出其體積，然后利用基本不等式用a表示

1

x

+

a

y

的最小值，分析可得關于a的不等式，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答：解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=6，PB=2，PC=1，
則V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×6×2×1=2，
則f（M）=（

5

3

，x，y）中，有x+y+

5

3

=2，
即有x+y=

1

3

，

1

x

+

a

y

=（

1

x

+

a

y

）•（x+y）•3≥3（

a

+1）²，
所以3（

a

+1）²≥27，
解可得a≥4，即a的最小值為4；
故答案為4．

點評：本題主要考查了棱錐的體積，同時考查了基本不等式的運用，要注意準確理解f（m）的意義．