Question

（本小題滿分16分）

已知直線：與直線：．

（1）當實數變化時，求證：直線過定點，并求出這個定點的坐標；

（2）若直線通過直線的定點，求點所在曲線的方程；

（3）在（2）的條件下，設，過點的直線交曲線于兩點(兩點都在軸上方)，且，求此直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）定點的坐標為．（2）．（3）的方程為．

【解析】本試題主要考查了直線的位置關系的運用，以及求解軌跡方程和直線方程的綜合運用。

（1）因為直線：與直線：．

，那么當實數變化時，直線表示為過兩條直線交點的直線系方程可知其過定點，并求出這個定點的坐標；

（2）因為直線通過直線的定點，則可知點所在曲線的方程；

（3）在（2）的條件下，設，過點的直線交曲線于兩點(兩點都在軸上方)，且，運用向量的共線的知識得到結論。

（1）的方程化為，…………………………2分

由題意，解得所以定點的坐標為．………………4分

（2）由過定點，得，化簡得，

所以點所在曲線的方程為．……………………………………8分

（3）因為，所以，且，

所以，所以，所以，所以．…………10分

設，則，

由，得，又由

由①②③④解之得所以，……………………………………………14分

所以的方程為．……………………………………………………16分