Question

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上， 的中心和的頂點均為原點，平面上四個點， ， ， 中有兩個點在橢圓上，另外兩個點在拋物線上.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線滿足以下條件：①過的焦點；②與交于兩點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】試題分析：（1）由題意，易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為， ，利用韋達(dá)定理，得到直線的方程。

試題解析：

（1）設(shè)拋物線，則有

據(jù)此驗證四個點知， 在拋物線上，

易得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)橢圓，把點， 代入可得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）以為直徑的圓經(jīng)過原點,則

的焦點. 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為

直線交橢圓于點 ，不滿足題意

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

由，消去得

于是①

由得 ②

將①代入②式，得 解得

所以存在直線滿足條件，且的方程為或.