Question

（2012•上海）設O為△ABC所在平面內一點．若實數x、y、z滿足x

OA

+y

OB

+z

OC

=0，（x²+y²+z²≠0），則“xyz=0”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：畫出草圖，根據已知條件x

OA

+y

OB

+z

OC

=0移項得x

OA

+y

OB

=-z

OC

，再由xyz=0，推出x，y，z只有一個為0，再根據三角形的性質進行求解；

解答：解：∵O為△ABC所在平面內一點．實數x、y、z滿足x

OA

+y

OB

+z

OC

=0（x²+y²+z²≠0），
∴x

OA

+y

OB

=-z

OC

，
若xyz=0”則x、y、z中只能有一個為0，（否則若x=y=0，可推出z=0，這與x²+y²+z²≠0矛盾）
假設x=0（y、z不為0），可得y

OB

=-z

OC

，∴

OB

=-

z

y

OC

，
∴向量

OB

和

OC

共線，∴O只能在△ABC邊BC上；
若點O在△ABC的邊所在直線上，假設在邊AB上，說明向量

OB

和

OA

共線，
∴z=0，
∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的充要條件；
故選C．

點評：此題以三角形和平面的向量為載體，考查了必要條件和充分條件的定義及其判斷，是一道基礎題．