Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AB=

2

，P、Q分別是CD₁和A₁A的中點，
求證：
（1）PQ∥面ABCD；
（2）面DPQ⊥面BB₁D₁D．

Answer 1

分析：（1）取CD中點M，連接AM、PM．利用三角形中位線定理并結合長方體的性質，可得四邊形AMPQ是平行四邊形，可得PQ∥AM
，最后利用線面平行的判定定理，可得PQ∥面ABCD；
（2）根據平面幾何相似三角形的判定，可得AM⊥BD，結合PQ∥AM可得PQ⊥BD．由線面垂直的性質定理，得到PQ⊥平面BB₁D₁D，進而得到平面DPQ⊥平面BB₁D₁D．

解答：證明：（1）取CD中點M，連接AM、PM．
∵P、Q分別是CD₁和A₁A的中點，
∴PM∥

1

2

D1D，PM=

1

2

D1D，…（2分）
∴PM∥AQ，PM=AQ，可得四邊形AMPQ是平行四邊形，
∴PQ∥AM，…（5分）
又∵AM?平面ABCD，PQ?平面ABCD，
∴PQ∥平面ABCD．…（7分）
（2）∵AD=1，AB=

2

，DM=

2

2

，
∴AD²=AB•DM，可得△ADM～△BAD，
∴∠DAM=∠ABD=90°-∠ADB，
∴AM⊥BD，結合PQ∥AM，可得PQ⊥BD，…（10分）
又∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，∴B₁B⊥AM，
∵AM∥PQ，∴PQ⊥B₁B，…（12分）
又∵BD∩B₁B=B，BD、BB₁?平面BB₁D₁D，∴PQ⊥平面BB₁D₁D，
∵PQ?平面DPQ，∴平面DPQ⊥平面BB₁D₁D．…（14分）

點評：本題在長方體中，求證線面平行并且證明面面垂直，著重考查了平面與平面垂直的判定和直線與平面平行的判定等知識，屬于中檔題．